重力场中的粒子和均匀电场中电荷$q$的粒子。当重力方向或电场强度E的方向指向负x轴时，
势能（不计任意常数）均可表示为
\begin{equation}
    V(x)=Fx
\end{equation}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figure/One-DimensionalLinearPotentialField20240816124226.jpg}
    \caption{一维线性势场\label{fig:One-DimensionalLinearPotentialField20240816124226}}
\end{figure}
考虑如\figref{fig:One-DimensionalLinearPotentialField20240816124226}
所示的问题,为了让这个计算模型合理一些,防止粒子向$x \rightarrow-\infty$处坍缩
(那里势能$V \rightarrow-\infty!$ ).在$x=-x_0$处,
设有一刚性墙壁(该处势能陡升至$+\infty$ ).此时的Schrödinger方程为

\begin{equation}
    \psi^{\prime \prime}(x)+\frac{2m}{\hbar^2}(E-F x) \psi(x)=0
\end{equation}

引入无量纲参数
\begin{equation}
    \xi=\left(\frac{2m F}{\hbar^2}\right)^{1/3}\left(x-\frac{E}{F}\right)
\end{equation}

当$\xi=0$时, $x=x_1\equiv \frac{E}{F}$,从经典观点来看,这是能量为$E$ (现假定$E>0$ )
的粒子所能达到的最大高度.就是说,以此点为分界线, $\xi>0$为经典不容许区域;
$\xi<0$为经典容许区域。在这样的自变数替换下, Schrödinger方程变为Airy方程
\begin{equation}
    \psi^{\prime \prime}(\xi)-\xi \psi(\xi)=0
\end{equation}

它的两个线性无关解$A_i(\xi)$和$B_i(\xi)$均称为Airy函数.

\begin{note}
    当$x\rightarrow +\infty$:
    \begin{equation*}
        A_i(x)\sim \frac{\exp (-\frac23x^{3/2})}{2\sqrt{\pi}x^{1/4}}\rightarrow0
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
        B_i(x)\sim \frac{\exp (\frac23x^{3/2})}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}\rightarrow +\infty
    \end{equation*}
    \begin{figure}[htbp]
        \centering
        \includegraphics[width=0.5\textwidth]{figure/AiryFunctionAAndItsAsymptoticApproximation20240816130809.jpg}
        \caption{Airy函数$A_i(x)$及其渐进近似\label{fig:AiryFunctionAAndItsAsymptoticApproximation20240816130809}}
    \end{figure}
    \begin{figure}[htbp]
        \centering
        \includegraphics[width=0.5\textwidth]{figure/ArialFunctionBAndItsAsymptoticApproximation20240816130923.jpg}
        \caption{Airy函数$B_i(x)$及其渐进近似\label{fig:ArialFunctionBAndItsAsymptoticApproximation20240816130923}}
    \end{figure}
\end{note}


其中, $B_i(\xi) \xrightarrow{\xi \rightarrow+\infty}+\infty$不符
合物理边条件,应当舍去(这是因为,当$x \rightarrow+\infty$时$V(x) \rightarrow+\infty$,
必有$\psi(x) \rightarrow0$ ),所以在$\left[-x_0,+\infty\right)$区域内有限且平方可积的解为

\begin{equation}
    \psi(\xi)=\alpha A_i(\xi)=\frac{\alpha}{\sqrt{\pi}} \int_0^{\infty} \cos \left(\frac{u^3}{3}+\xi u\right) \mathrm{d} u
\end{equation}

式中, $\alpha$为$\left[-x_0,+\infty\right)$区间上的归一化系数.
为运算方便,按$\xi$大于或小于零的情况分别将$\psi(\xi)$写为

\begin{equation}
    \psi(\xi)=
    \begin{cases}
        \alpha A_i(\xi)=\frac{\alpha}{\pi} \sqrt{\frac{\xi}{3}} K_{1 /3}\left(\frac{2}{3} \xi^{1/2}\right)                                                                  & (\xi>0) \\
        \alpha A_i(\xi)=\frac{\alpha \sqrt{|\xi|}}{3}\left[\mathrm{~J}_{-1/3}\left(\frac{2}{3}|\xi|^{1/2}\right)+\mathrm{J}_{1/3}\left(\frac{2}{3}|\xi|^{3/2}\right)\right] & (\xi<0)
    \end{cases}
\end{equation}

应用$\psi\left(-x_0\right)=0$的边界条件,得到决定能量本征值的方程为
\begin{equation}
    \mathrm{J}_{\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3} \xi_0^{\frac{3}{2}}\right)+\mathrm{J}_{\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3} \xi_0^{\frac{3}{2}}\right)=0
\end{equation}

式中, $\xi_0=\left(\frac{2m F}{\hbar^2}\right)^{\frac{1}{3}}\left(x_0+\frac{E}{F}\right)$.
满足这个方程的所有$E$值的集合即为此问题的能谱.注意,由于$-x_0$处的边界条件已将粒子局域化,
所以能谱呈现出分立现象.

如上所述， $\left[-\xi_0,0\right]$区域是经典容许区域.
现计算向经典趋近时，此区域中粒子在不同位置出现的概率分布$P(x)$.
这时可假设$\hbar \rightarrow0$,也即$|\xi| \rightarrow+\infty$.
利用Bessel函数$\mathrm{J}_{\mathrm{v}}(z)$的渐近表达式${ }^{(\omega)}$

\begin{equation}
    \mathrm{J}_{\mathrm{v}}(z) \xrightarrow{z \rightarrow+\infty} \sqrt{\frac{2}{\pi z}} \cos \left(z-\frac{v \pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)
\end{equation}

代入上面$\psi(\xi)$在$\xi<0$区域中的表达式，得
\begin{equation}
    \psi(\xi) =\frac{\alpha}{\sqrt{\pi}}|\xi|^{-1/4} \cos \left(\frac{2}{3}|\xi|^{3/2}-\frac{\pi}{4}\right)
\end{equation}
由于势场$V(x)$随$x$变化,这相当于折射率$n$为非均匀的介质中光波波包的运动,
这时等效波长$\lambda=\lambda(x)$是位置$x$的函数,于是上式正弦函数中的自变量为
\begin{equation}
    \frac{2}{3}|\xi|^{3/2}=k(x) \cdot|x|=\frac{2\pi|x|}{\lambda(x)}
\end{equation}
得
\begin{equation}
    \lambda(x)=\frac{3\pi \hbar|x|}{(2m F)^{1/2}\left(x_1-x\right)^{3/2}}
    \quad\left(-x_0<x<x_1\right)
\end{equation}

当$\hbar \rightarrow0$时, $\lambda(x) \rightarrow0$,
振荡越来越快速.此时在宏观尺度下讨论位置分布概率,实际上已就很多个$\lambda$的空间范围取了平均,
也即将此快速振荡抹平.这样一来,在$x \rightarrow x+\mathrm{d} x$内找到粒子的概率便成为

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        P(x) \mathrm{d} x & =|\psi(x)|^2\mathrm{~d} x=\frac{|\alpha|^2}{\pi}|\xi|^{-1/2} \overline{\cos ^2\left(\frac{2}{3}|\xi|^{3/2}-\frac{\pi}{4}\right)} \mathrm{d} x \\
                          & \propto \frac{1}{\sqrt{|\xi|}} \mathrm{d} x \propto \frac{1}{\sqrt{x_1-x}} \mathrm{~d} x
    \end{aligned}
\end{equation}


另一方面,按经典观点有
\begin{equation}
    \frac{1}{2} m v^2+F x=F x_1
\end{equation}

得
\begin{equation}
    v=\sqrt{\frac{2F}{m}\left(x_1-x\right)}
\end{equation}

并且在$\mathrm{d} x$内找到此经典粒子的概率正比于它在$\mathrm{d} x$内逗留的时间,
\begin{equation}
    P(x) \mathrm{d} x \propto \frac{1}{v} \mathrm{~d} x \propto \frac{1}{\sqrt{x_1-x}} \mathrm{~d} x
\end{equation}
可知当$\hbar \rightarrow0$时,量子力学分布趋于经典分布.

对$\xi>0$的区域,按经典观点是禁止区域.但按量子力学,仍能有一定的概率在此区域内发现粒子.这显然又是物质粒子de Broglie波波动性的表现,是纯粹的量子效应.当$x \rightarrow+\infty$ （即$\xi \rightarrow+\infty$ ）时，由于
\begin{equation}
    K_v(z) \xrightarrow{z \rightarrow+\infty} \sqrt{\frac{\pi}{2z}} \mathrm{e}^{-z}
\end{equation}
由$\psi(\xi)$在$\xi>0$区域的表达式可得
\begin{equation}
    \psi(\xi) \xrightarrow{\xi \rightarrow+\infty} \frac{\alpha}{2\sqrt{\pi}} \xi^{-1/4} \mathrm{e}^{-\frac{2}{3} \xi^{3/2}}
\end{equation}
表明在此区域内的概率分布随$x$增加而迅速衰减,这显然是由于外场的势能呈线性
增长并最终变得很大的缘故.而当$\hbar \rightarrow0\quad(\xi \rightarrow+\infty)$时,
$\psi(\xi) \rightarrow0$,此区域就逐渐变成经典运动的禁区.

研究取消$-x_0$处刚性墙约束而出现的现象.这时可认为$x_0\rightarrow+\infty$,
利用$\mathrm{J}_v(z)$的渐近表达式,将前面的能量本征值方程简化为
\begin{equation}
    \left(\frac{2}{\pi \frac{2}{3} \xi_0^{3/2}}\right)^{1/3}\left[\cos \left(\frac{2}{3} \xi_0^{3/2}+\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}\right)+\cos \left(\frac{2}{3} \xi_0^{3/2}-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}\right)\right]=0
\end{equation}

即
\begin{equation}
    \sin \left(\frac{2}{3} \xi_0^{3/2}+\frac{\pi}{4}\right)=0
\end{equation}
也即
\begin{equation}
    \frac{2}{3} \xi_0^{3/2}+\frac{\pi}{4}=n \pi \quad\left(\xi_0\gg1, n \gg1\right)
\end{equation}
于是
\begin{equation}
    E_n\left(x_0\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{9\pi^2\hbar^2F^2}{m}\right)^{1/3}\left(n-\frac{1}{4}\right)^{2/3}-x_0F \quad\left(x_0\rightarrow \infty, n \gg1\right)
\end{equation}
这里$n$的选取要足够大,以保证在足够大的$x_0$时,仍然有$E_n\left(x_0\right)>0$.
由于$E_n$是待定的参数, $x_0$和$n$都是独立变数( $n$的变化只限于整数范围),
鉴于这时$\frac{\mathrm{d} E_n}{\mathrm{~d} n} \xrightarrow{n \rightarrow \infty}0$,
所以$E_n\left(x_0\right) \xrightarrow[n \rightarrow+\infty]{x_0\rightarrow+\infty}$
连续变化,从而过渡到连续谱情况.此时,由归一化条件
\begin{equation}
    \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(\xi) \psi\left(\xi^{\prime}\right) \mathrm{d} x=\delta\left(E-E^{\prime}\right) \rightarrow \alpha=\frac{(2m)^{1/3}}{\pi^{1/2} F^{1/6} \hbar^{2/3}}
\end{equation}
